分野別1500解法

変ったサイコロ問題(麻布中学 2013年) 解法例

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8つの面がすべて合同な正三角形からなる図1のような立体について考えます。

それぞれの面には、

図2のように 1から8までの数字が書かれています。

 

     Pic_4134q

 

Pic_4135q

 

下の図3のように、この立体を面ABC が底面となるように置きます。 

 Pic_4136q

 

底面のいずれか1辺を軸として、

となり合う面が底面となるようにこの立体を動かすことを

「転がす」ということにします。 

このとき、次の問に答えなさい。

 

 

 

(1)

図3の状態から1回目に辺AC を軸として転がし、

続けて2回目に辺CD を軸として転がしました。

その結果、最後に底面と重なる位置を、

下の図4の三角形に色をつけて示しなさい。

また、そのときの底面に書かれた数字を答えなさい。 

 Pic_4137q

 

図3の状態から4回、自由に転がします。

このとき、以下の(2)、(3)、(4)に答えなさい。 

 

 

(2)

下の図5の【ア】は、最後に底面と重なる位置の1つです。

 

【ア】以外の、最後に底面と重なる位置の三角形を

すべて、太線で囲い示しなさい。

また、【ア】の位置に最後に重なる底面に書かれた数字として

考えられるものをすべて答えなさい。 

 Pic_4138q

 

(3)

4回自由に転がす転がし方は、全部で何通りありますか。

 

ただし、最後の底面の位置が同じでも、

途中の経路が違う場合は別の転がし方とします。 

(4)

最後に底面となる面に書かれた数字を、

(3)のすべての転がし方について足し合わせたとき、

その和を求めなさい。

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解答

 

(1)

まず、三角形ABC を辺AC を軸として転がすときに底面となるのは、

辺AC を共有するもう1つの三角形の三角形ACD になります。

さらに、辺CD を軸として 三角形ACD を転がすときに底面となるのは、

辺CD を共有するもう1つの三角形の三角形CDF になり、

底面の数字は5 です。

底面の位置は、下の図6 のようになります。 

 Pic_4139a

 

 

 

 (2)

4回転がして底面と重なる三角形の位置は、下の図7のようになります。 

 Pic_4140a

 

【ア】の位置にくる底面として考えられるものは、

下の図8、図9の2通りの場合があり、 

 Pic_4141a

 

底面の数字は、三角形BEF の 7、三角形ABC の 1 です。

 

(3)

まず、図7の三角形のうち、

最も外側の12か所について行き方を考えると、

下の図10の矢印のように、

 

 Pic_4142a

 

まん中の三角形の場所へは2通り、

最も遠い場所へは1通りの行き方があることがわかり、

全部で18通り の行き方があります。

 

次に、内側の6か所の三角形について、行き方を考えると、 

下の図11、図12、図13、図14の矢印の場合があり、

 

  Pic_4143a

 

  Pic_4144a_3

 

図11は、【ア】から【イ】へ 2回で移動し、

【イ】の周辺の三角形と【イ】を往復することで、

4回で【イ】の位置へ移動する方法で、3通り あります。

 

図12は、【ア】から【イ】へ右回りで4回かけて移動する方法で

1通り あります。

 

図13は、まず、【ア】と周辺の三角形を往復し、

その後【イ】へ移動する方法で、

3通り あります。

図14のように移動する方法が1通り あります。 

よって、【ア】から【イ】の場所への移動方法は、 

3+1+3+1=8通り

 

ということがわかります。

 

【イ】と同様な場所が6か所あるので、

8×6=48通りの行き方があることがわかります。

 

最後に、4回かけて【ア】の位置に移動する方法を考えると、 

まず、下の図15の矢印のように、

 

  Pic_4145a_2

 

【イ】のような、【ア】から2回で行ける三角形を往復する方法があり、

これが 6通り あります。 

次に、下の図16の矢印のように、 

  Pic_4146a

 

まず、【ア】と【ウ】を往復し、

次に、【ウ】、【エ】、【オ】のどれかと往復すると、

【ア】の位置に行き着きます。 

最初に【ア】と【エ】を往復しても、

【ア】と【オ】を往復しても同様になるので、

図15の方法では、3×3=9通り の行き方があることになります。

 

よって、【ア】の位置への転がり方は、6+9=15通り です。 

以上から、18+48+15=81通り の転がし方があることが求められます。

 

 

 

【別解】 

下の図17のように、色のついた面を底面としたときに、

 

次に転がる先の候補は、矢印の先の3通りがあります。

 

     Pic_4147a

 

行き着いた先でも、次に転がる先の候補は、3通りで、

 

転がるたびに、次に転がる先の候補は3通りあります。

 

よって、4回転がす転がし方は、3×3×3×3=81通りと求められます。

 

 

 (4)

それぞれの面を底面としたときに転がすと
 

どのような先に行き着くかを、下の図18に示しました。

 

4回目は奇数になるので、

3回目の面が偶数の2,4,6,8のとき、

4回目に底面になる面の数の和を合わせて書いてあります。  

 Pic_4148a

 

最初、底面の数は面ABC の1なので、

1回目に底面になるのは2,4,6 です。

1回目に底面が2のとき、2回目に底面になるのは1,3,5 になります。

2回目に底面が1のとき、3回目に底面になるのは、

2,4,6 で、3回目に底面が2のとき、

4回目に底面になるのは、1+3+5=9 と計算できます。

 

樹形図のように、サイコロの面を追うと、下の図19のようになります。

4回目の数は、底面になり得る数の和です。

 

 Pic_4149a

 

これらの数を合計すると、

 

  33×3+35×2+37×2+39×2

 

= 99+(35+37+39)×2

 

= 99+222

 

= 321

 

と求められます。

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