変ったサイコロ問題（麻布中学 2013年） 解法例
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８つの面がすべて合同な正三角形からなる図１のような立体について考えます。
それぞれの面には、
図２のように １から８までの数字が書かれています。
下の図３のように、この立体を面ＡＢＣ が底面となるように置きます。
底面のいずれか１辺を軸として、
となり合う面が底面となるようにこの立体を動かすことを
「転がす」ということにします。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）
図３の状態から１回目に辺ＡＣ を軸として転がし、
続けて２回目に辺ＣＤ を軸として転がしました。
その結果、最後に底面と重なる位置を、
下の図４の三角形に色をつけて示しなさい。
また、そのときの底面に書かれた数字を答えなさい。
図３の状態から４回、自由に転がします。
このとき、以下の（２）、（３）、（４）に答えなさい。
（２）
下の図５の【ア】は、最後に底面と重なる位置の１つです。
【ア】以外の、最後に底面と重なる位置の三角形を
すべて、太線で囲い示しなさい。
また、【ア】の位置に最後に重なる底面に書かれた数字として
考えられるものをすべて答えなさい。
（３）
４回自由に転がす転がし方は、全部で何通りありますか。
ただし、最後の底面の位置が同じでも、
途中の経路が違う場合は別の転がし方とします。
（４）
最後に底面となる面に書かれた数字を、
（３）のすべての転がし方について足し合わせたとき、
その和を求めなさい。
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解答
（１）
まず、三角形ＡＢＣ を辺ＡＣ を軸として転がすときに底面となるのは、
辺ＡＣ を共有するもう１つの三角形の三角形ＡＣＤ になります。
さらに、辺ＣＤ を軸として 三角形ＡＣＤ を転がすときに底面となるのは、
辺ＣＤ を共有するもう１つの三角形の三角形ＣＤＦ になり、
底面の数字は５ です。
底面の位置は、下の図６ のようになります。
（２）
４回転がして底面と重なる三角形の位置は、下の図７のようになります。
【ア】の位置にくる底面として考えられるものは、
下の図８、図９の２通りの場合があり、
底面の数字は、三角形ＢＥＦ の ７、三角形ＡＢＣ の １ です。
（３）
まず、図７の三角形のうち、
最も外側の１２か所について行き方を考えると、
下の図１０の矢印のように、
まん中の三角形の場所へは２通り、
最も遠い場所へは１通りの行き方があることがわかり、
全部で１８通り の行き方があります。
次に、内側の６か所の三角形について、行き方を考えると、
下の図１１、図１２、図１３、図１４の矢印の場合があり、
図１１は、【ア】から【イ】へ ２回で移動し、
【イ】の周辺の三角形と【イ】を往復することで、
４回で【イ】の位置へ移動する方法で、３通り あります。
図１２は、【ア】から【イ】へ右回りで４回かけて移動する方法で
１通り あります。
図１３は、まず、【ア】と周辺の三角形を往復し、
その後【イ】へ移動する方法で、
３通り あります。
図１４のように移動する方法が１通り あります。
よって、【ア】から【イ】の場所への移動方法は、
３＋１＋３＋１＝８通り
ということがわかります。
【イ】と同様な場所が６か所あるので、
８×６＝４８通りの行き方があることがわかります。
最後に、４回かけて【ア】の位置に移動する方法を考えると、
まず、下の図１５の矢印のように、
【イ】のような、【ア】から２回で行ける三角形を往復する方法があり、
これが ６通り あります。
次に、下の図１６の矢印のように、
まず、【ア】と【ウ】を往復し、
次に、【ウ】、【エ】、【オ】のどれかと往復すると、
【ア】の位置に行き着きます。
最初に【ア】と【エ】を往復しても、
【ア】と【オ】を往復しても同様になるので、
図１５の方法では、３×３＝９通り の行き方があることになります。
よって、【ア】の位置への転がり方は、６＋９＝１５通り です。
以上から、１８＋４８＋１５＝８１通り の転がし方があることが求められます。
【別解】
下の図１７のように、色のついた面を底面としたときに、
次に転がる先の候補は、矢印の先の３通りがあります。
行き着いた先でも、次に転がる先の候補は、３通りで、
転がるたびに、次に転がる先の候補は３通りあります。
よって、４回転がす転がし方は、３×３×３×３＝８１通りと求められます。
（４）
それぞれの面を底面としたときに転がすと
どのような先に行き着くかを、下の図１８に示しました。
４回目は奇数になるので、
３回目の面が偶数の２，４，６，８のとき、
４回目に底面になる面の数の和を合わせて書いてあります。
最初、底面の数は面ＡＢＣ の１なので、
１回目に底面になるのは２，４，６ です。
１回目に底面が２のとき、２回目に底面になるのは１，３，５ になります。
２回目に底面が１のとき、３回目に底面になるのは、
２，４，６ で、３回目に底面が２のとき、
４回目に底面になるのは、１＋３＋５＝９ と計算できます。
樹形図のように、サイコロの面を追うと、下の図１９のようになります。
４回目の数は、底面になり得る数の和です。
これらの数を合計すると、
３３×３＋３５×２＋３７×２＋３９×２
＝ ９９＋（３５＋３７＋３９）×２
＝ ９９＋２２２
＝ ３２１
と求められます。
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