トラック競争の原理（筑波大学附属駒場中学 2001年）
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下の図のように、半円部分と５０ｍの直線部分でできた走路があります。この走路は、第１コースが１周２００ｍで、第２コースが１周２０６ｍになっています。
Ａ君、Ｂ君、Ｃ君はこの走路を、図の矢印の向きに、それぞれ一定の速さで走ります。Ａ君が１００ｍ走る間にＢ君が８０ｍ走るとき、次の問に答えなさい。
（１）Ａ君が図のアの位置から第１コースを、Ｂ君がアより前方の位置から第２コースを、同時に走り始めたとき、Ｂ君がちょうど１００ｍ走ったところでＡ君に追いつかれました。Ｂ君が走り始めた位置はアより何 ｍ 前方ですか。
（２）図のアの位置から、Ａ君は第１コースを、Ｂ君は第２コースを、同時に走り始めて何周もまわると、Ａ君はＢ君を何度も追いぬきます。２度目に追いぬくのは、Ａ君が何周目を走っているときですか。
（３）図のアの位置から、Ａ君は第１コースを、Ｃ君は第２コースを、同時に走り始めて、Ａ君が１周する間にＣ君を追いぬくことがありました。Ｃ君が１００ｍ走る間にＡ君が何 ｍ 走っているか考えるとき、そのキョリとして考えられるもののうち、メートルの単位で考えて、最も小さい整数を答えなさい。
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こたえ
（１）Ａ君が１００ｍ走る間にＢ君が８０ｍ走るので、
Ａ君とＢ君の速さの比は、５ ： ４です。
Ｂ君が１００ｍ走る間にＡ君は１２５ｍ走るので、
Ｂ君が走り始めた位置はＡ君が走り始めた位置アより、
１２５－１００＝２５ｍ 前方、と答えては間違いです。
下の図１のように、Ｂ君が１００ｍ走る間に、
Ａ君は赤い部分（５０ｍ）、Ｂ君は青い部分（５３ｍ）を通ります。
Ｂ君が１００ｍ走る間に、Ａ君は１２５ｍ走りますが、
その場合、さらにコースのキョリの差である３ｍ
余計に前に出てしまいます。
このことから、Ｂ君がアの位置から２５ｍより、さらに３ｍ前方、
２８ｍ 前方の位置から走り始めたことがわかります。
（２）Ａ君が１周（２００ｍ）走る間にＢ君は１６０ｍ走るので、
Ｂ君の１周（２０６ｍ）まで４６ｍ足りません。
Ａ君が２周すると、Ｂ君は２周目まで残り４６×２＝９２ｍです。
Ａ君が５周すると、Ｂ君は５周目まで残り４６×５＝２３０ｍで、
ここで、１度Ｂ君はＡ君に抜かれています。（２０６ｍより多いので）
Ａ君が１０周すると、Ｂ君は１０周目まで４６０ｍで、２周分より多く、
Ａ君が９周すると、Ｂ君は９周目まで４１４ｍで、２周分よりまだ多く、
Ａ君が８周すると、Ｂ君は８周目まで３６８ｍで、
２周差になりません。
よって、９周目のとちゅうにＡ君はＢ君を抜くことがわかります。
（３）まず、Ａ君はＣ君より速いのでしょうか？おそいのでしょうか？
Ａ君がＣ君より速かったら、Ａ君の方がＣ君より走るキョリは短く、
常に前に行くこととなり、１周目にＣ君を抜くということはないです。
（抜くとしたら２周目以降）
１周目に抜くということは、Ａ君はＣ君よりおそい、けれど、
カーブの部分でＣ君を抜いてしまう、
という絶妙な速度ということになります。
つまり、Ａ君が８０ｍ走る間にＣ君は８３ｍ走れば、
下の図２のイでは、Ｃ君が先にいて、
ウではちょうど追いつくことになります。
このとき、Ｃ君が１００ｍ走る間に、Ａ君は
８０÷８３ ×１００＝９６．３・・・（ｍ）走るので、
追い抜ける最も小さい整数は、９７（ｍ）となります。
また、図２のオの地点で追いつくことを考えると、
Ａ君が１８０ｍ走る間に、Ｃ君は１８６ｍ走ることになり、
Ｃ君が１００ｍ走る間にＡ君は、
１８０÷１８６ ×１００＝９６．７・・・（ｍ）走ればよく、
Ａ君は９７（ｍ）で走れば追いぬくことができます。
以上より、こたえは ９７ です。
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