これ、全部正解できる小学生いますか？（筑波大学附属駒場中学 2006年）
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下の図１のような、４つの面が同じ大きさの正三角形で
できているコマと、下の図２のような、コマの面と同じ大きさの
正三角形がたくさん描いてある板があります。コマの１つの
面には☆印がついていて、はじめに、この☆の面が図２の
★のついた三角形とぴったり重なるように置いてあります。
板についている面の１つの辺を動かさないようにコマをたおし、
別の面を下にする操作を何回か行って、コマを動かすことを
考えます。たとえば、１回目の操作で、コマは図２の○印の
３つの三角形のどれかに移動します。また、たとえば３回目の
操作で図２の●印の三角形、４回目の操作で図２の■印の
三角形、５回目の操作で図２の▲印の三角形にコマは移動
できて、いずれも☆の面が●、■、▲の三角形に重なります。
コマが移動できる板上の三角形の個数について、次の問に
答えなさい。ただし、はじめにコマを置いた★印の三角形は
個数に含めません。
（１）２回目の操作で、はじめてコマがたどりつける三角形は
何個ありますか。また、そのうち☆の面が重なるものは
何個ありますか。３回目、４回目の操作についても、同じ
ものを求めなさい。
（２）８回以下の操作でコマが移動できる三角形は全部で何個
ありますか。また、そのうち☆の面が重なるものは全部で
何個ありますか。
（３）１００回以下の操作でコマが移動できる三角形のうち、☆の
面が重なるものは全部で何個ありますか。
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（１）２回目の操作で、はじめてコマがたどりつける三角形は、
図２の○印から１つとなりの三角形で、下の図３の青い三角形
です。
よって、６個です。
次に、☆の面が重なる面について考えます。コマの４つの面を
赤、青、黄色、白の４色で表し、☆の面を青色の面として考え
最初の位置から転がすと、下の図４のように太線の三角形の
位置で☆の面が重なります。
よって、２回目の操作では、☆の面と重なるものは、０個です。
３回目の操作で、はじめてコマがたどりつける三角形は、
図３の青い三角形から１つとなりの三角形で、下の図５の
緑の三角形で、９個あり、そのうち☆の面が重なるものは
３個です。
４回目の操作で、はじめてコマがたどりつける三角形は、
図５の緑の三角形から１つとなりの三角形で、下の図６の
黄色の三角形で、１２個あり、そのうち☆の面が重なるものは
図４の図と重ねて考えると、６個とわかります。
（２） （１）の操作を同様に続けていくと、
５回目の操作で、はじめてコマがたどりつける三角形は、
図６の黄色の三角形から１つとなりの三角形で、下の図７の
赤色の三角形で、１５個あり、そのうち☆の面が重なるものは
図４の図と重ねて考えると、３個とわかります。
６回目の操作で、はじめてコマがたどりつける三角形は、
図７の赤の三角形から１つとなりの三角形で、下の図８の
青色の三角形で、１８個あり、そのうち☆の面が重なるものは
図４の図と重ねて考えると、０個とわかります。
７回目の操作で、はじめてコマがたどりつける三角形は、
図８の青の三角形から１つとなりの三角形で、下の図９の
黄色の三角形で、２１個あり、そのうち☆の面が重なるものは
図４の図と重ねて考えると、６個とわかります。
８回目の操作で、はじめてコマがたどりつける三角形は、
図９の黄色の三角形から１つとなりの三角形で、下の図１０の
紫色の三角形で、２４個あり、そのうち☆の面が重なるものは
図４の図と重ねて考えると、１２個とわかります。
ここまで８回の操作で移動できる三角形の個数を合計すると、
３＋６＋９＋１２＋１５＋１８＋２１＋２４
＝（３＋２４）×８÷２＝１０８個 です。
そのうち、☆の面と重なるものは、
０＋３＋６＋３＋０＋６＋１２＝３０個 です。
いきなり図１０を描いて、★を六角形状に並べて数えてもよいと
思います。
（３）１００回まで地道に調べるわけにはいかないので、
何か規則性がないか探してみます。
☆の面と重なる三角形の数は、８回目までの操作まで、
０＋３＋６＋３＋０＋６＋１２ という増え方をしています。
ここから推測すると、９回目は６、１０回目は０、１１回目は９、・・・
と考えられます。確認すると、下の図１１のようになり、
９回目は★が６個、１０回目は灰色の三角形のところで、０個、
１１回目は★で右下、左下、上の３か所に３個ずつで９個 と
なっていることがわかります。
よって、次のような規則があることが確認できました。
【１】２～５回目 ・・・ ０，３，６，３ ・・・ １２
【２】６～９回目 ・・・ ０，６，１２，６ ・・・ ２４（１２×２）
【３】１０～１３回目 ・・・ ０，９，１８，９ ・・・ １２×３
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
【２４】９４～９７回目 ・・・ ０，７２，１４４，７２ ・・・ １２×２４
【２５】９８～１００回 ・・・ ０，７５，１５０ ・・・ ２２５
よって、これらを合計すると、
１２×１＋１２×２＋１２×３＋・・・＋１２×２４＋２２５
＝１２×（１＋２＋３＋・・・＋２４）＋２２５
＝１２×（１＋２４）×２４÷２＋２２５
＝１２×２５×１２＋２５×９＝２５×（１４４＋９）＝２５×１５３
＝３８２５個 となります。
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