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中学入試に出た図形問題!立方体制作と場合の数(久留米大学附設中学 2010年)

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黒玉と白玉を合わせて8個と棒12本を使って立方体の形を作るとき、黒と白の異なる配置は何通りあるかを求めます。
ただし、回転を組み合わせて同じ位置に出来るときは、異なる配置とは考えません。たとえば、黒玉1個、白玉7個の場合、下のように一見①から⑧のように8通りありそうですが、①から適当に回転を組み合わせて②~⑧にすることができるので、この場合の異なる配置は、1通りです。

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(1)黒玉2個、白玉6個の場合、異なる配置は3通りです。黒玉の場所を2ケ所塗ることで、異なる配置を書きなさい。
(2)黒玉4個、白玉4個の場合、異なる配置は何通りあるのかを、必ず異なる配置だけを書くことで答えなさい。
もし、同じ配置を2つ以上書いていたら、その配置はいずれも書いていないものとして採点します。上の例でいえば、①と②が書いてあれば,何も書いていないことになります。
(3)黒玉も白玉も必ず1個以上使うとき,異なる配置は全部で何通りですか。

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