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横から見るとどう見える?(2015年 栄光学園中学)

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図1のように底面の半径が10cmの円柱状のケーキがあります。

ケーキの上には同じ形の イチゴが6個のっています。

図2はこのイチゴを拡大したもので、

もっともふくらんだ部 分は半径1cmの円になっています。

Bandicam_20151219_075847192

1cm ケーキの中心から5cmの距離にイチゴの中心がくるように、

等間隔にイチゴを置きま す。上から見ると図3のように見えます。

Bandicam_20151219_081214227

このケーキを十分離れたところから見ることにします。

(1)このケーキを図3の右側の矢印の方向の真横から見たとき、

イチゴの位置はどのよう に見えるか、(あ)〜(う)から選びなさい。

Bandicam_20151219_075900838

(2)このケーキを様々な方向の真横から見たとき、

見ることができるものを(え)〜(け)から 2つ選びなさい。

Bandicam_20151219_075921243

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十分離れたところから見ると、視線はすべて平行線になります。

(1)の6個が3個に見えるところは図のような方向から見た場合です。

12200

両側の重なった2個は、5cmより内側になっていることがわかります。

したがって、(あ)のように見えます。

4個に見える場合は、

下図のような方向から見た場合で、

12201

真ん中がやや開いた4個なので、(か)のように見えます。

その他の見え方は、(あ)と(か)の間の30°を調べればよいことになります。

(え)や(お)のように4個に見える方向はありません。

6個に見える場合、

真ん中の2個が接している場合の見え方は下図のように、

12203

両側の2個は半分ほど重なって見え、(き)のように見えます。

真ん中の2個が重なった方向から見ると、

12204

両側の2個がより重なってしまい、(く)のようには見えません。

さらに真ん中の2個を重ねると、(あ)のように3個に見えてきます。

12202_2

(け)のように6個すべてが接して見える方向もありません。

したがって、(か)と(き)

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682

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道順は何通り?(2016年 甲陽学院中学 2日目)

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同じ長さの竹ひご6本を用いてできる三角すいをたくさん作り、

それを図のように積み重ねて立体を作ります。図は2段と3段の場合です。

2011

(1)3段の場合の頂点Aから頂点Bまで行くのに最短で行く方法は

3本の竹ひごを通る場合で、1通りです。

4本の竹ひごを通ってAからBまで行く方法は何通りありますか。

(2)4段積み重ねて作った立体の場合、

(1)のように1つの頂点Cから他の頂点Dまで5本の竹ひごを通って行く方法は

何通りありますか。

(3)2段の場合、必要な竹ひごの本数は24本ですが、

10段積み重ねて立体を作るとき、必要な竹ひごの本数は何本ですか。

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(1)三角すいは1つの頂点から行くことのできる道は3通りあるので、

図のような平面に直して考えます。

2012_2

赤丸まで3本で来れる道順は6通りです。

また、図のように2つの青丸まで3本で来れる道順も6通りなので。

合計6+6=12通りです。

2013

(2)図のように赤丸まで4本で来れる道順は12通りなので、

それに青丸と緑丸の4×2=8通りを加えて、全部で20通りです。

2014

(3)1つの三角すいに使われる竹ひごは6本、

三角すいは2段目は2個増え、3段目は3個増え、4段目は4個増え・・・

と、1つずつ増える数が増していきます。

1段目→1個

2段目→3個

3段目→6個

4段目→10個

5段目→15個

6段目→21個

7段目→28個

8段目→36個

9段目→45個

10段目→55個

1+3+6+10+15+21+28+36+45+55

=20+36+64+100

=20+100+100

=220

220×6=1320本

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色部分の面積の差は?(2017年 広島大学附属中学)

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下の図は2つとも、

円を4等分したものを組み合わせて作った図形です。

1マスは1cm×1cmです。

色部分の面積の差は何㎠ですか?

円周率は3.14とします。

7081

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大きな1/4円から左下の白い部分を引いて、

残る面積を比べますが、

引く部分の差を考えても結果は同じになります。

7082

黄色と水色部分は同じなので、それ以外の白い部分を比べます。

左→4×4×3.14×1/4=4×3.14=12.56

右→3×3×3.14×1/4+1×1×3.14×1/4+3

   =(9+1)×3.14×1/4+3

   =10.85

12.56-10.85=1.71㎠

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ADの長 さは何cm?(渋谷教育学園幕張中学 2017年)

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図のように、1つの円の周上に5つの点A、B、C、D、Eがあります。

三角形BDEは1辺の長さが7cmの正三角形です。

また、辺ABとCDの長さはそれぞれ5cmで、

辺BCとAEの長さはそれぞれ3cmです。

このとき、辺ADの長 さは何cmですか。


3281

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3282


同じ長さの弧に対する円周角は等しいので、

∠ADE=∠BDC

∠ADE+∠ADB=60° なので、

∠ADB+∠BDC=60°

∠BAD=60°なので、

AB=CD より、

四角形BADCは等脚台形になり、

BCとADは平行になります。

△BECと△EDAについて、

BE=ED=7cm

BC=EA=3cm

∠EBC=60°+弧CDの円周角

∠DEA=60°+弧ABの円周角

弧CD=弧ABなので、

∠EBC=∠DEA

したがって、△BECと△EDAは合同

AD=ECなので、ECの長さを求めればよいことになります。

四角形AECBも等脚台形になるので、

四角形AFCBは平行四辺形になり、

AB=FC=5cm

AE=AF

∠EAF=60°より

△AEFは正三角形なので、

EF=AE=3cm

AD=EC=3+5=8cm

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