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道順は何通り?(2016年 甲陽学院中学 2日目)

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同じ長さの竹ひご6本を用いてできる三角すいをたくさん作り、

それを図のように積み重ねて立体を作ります。図は2段と3段の場合です。

2011

(1)3段の場合の頂点Aから頂点Bまで行くのに最短で行く方法は

3本の竹ひごを通る場合で、1通りです。

4本の竹ひごを通ってAからBまで行く方法は何通りありますか。

(2)4段積み重ねて作った立体の場合、

(1)のように1つの頂点Cから他の頂点Dまで5本の竹ひごを通って行く方法は

何通りありますか。

(3)2段の場合、必要な竹ひごの本数は24本ですが、

10段積み重ねて立体を作るとき、必要な竹ひごの本数は何本ですか。

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(1)三角すいは1つの頂点から行くことのできる道は3通りあるので、

図のような平面に直して考えます。

2012_2

赤丸まで3本で来れる道順は6通りです。

また、図のように2つの青丸まで3本で来れる道順も6通りなので。

合計6+6=12通りです。

2013

(2)図のように赤丸まで4本で来れる道順は12通りなので、

それに青丸と緑丸の4×2=8通りを加えて、全部で20通りです。

2014

(3)1つの三角すいに使われる竹ひごは6本、

三角すいは2段目は2個増え、3段目は3個増え、4段目は4個増え・・・

と、1つずつ増える数が増していきます。

1段目→1個

2段目→3個

3段目→6個

4段目→10個

5段目→15個

6段目→21個

7段目→28個

8段目→36個

9段目→45個

10段目→55個

1+3+6+10+15+21+28+36+45+55

=20+36+64+100

=20+100+100

=220

220×6=1320本

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682

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