色部分の面積の和は？（今年 ２０１９年 灘中学 １日目）

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下の図のような点Ｏを中心とする円について、

色部分の面積の和は何㎠ですか？

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解法例

ＰＪを対象軸として、弧ＤＦをＡＢに移動すると、

ＩＨ＝ＨＧ＝ＣＪ＝ＪＥ＝１ｃｍなので、

弧ＡＢＣは円周の半部であることがわかります。

したがって、ＡＣは直径になり、中心Ｏを通ります。

求める面積は、半円から△黄を引いて求めますが、

ＯＨ＝ＢＨ＝ＨＦ＝５ｃｍ　なので、

円の半径を□ｃｍとすると、

□×□÷２＝５×５＝２５

□×□＝５０

ＤＩ＝ＡＧ＝１２－５－５＝２ｃｍ

ＣＥ＝２ｃｍ

△黄＝△ＡＢＧ＋台形ＢＣＥＧ－△ＡＣＥ　なので、

△黄＝６×２÷２＋（６＋２）×１２÷２－２×１４÷２

＝６＋４８－１４

＝４０㎠

求める面積＝５０×３．１４÷２－４０＝３８．５㎠

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色部分の面積は？（今年 ２０１９年 浦和明の星女子中学）

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下の図は、大きな半円と小さな円と直線を組み合わせたもの です。

図の色部分の面積を求めなさい。

ただし、円周率は3.14 とします。

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図の黄色部分は二等辺直角三角形で、

赤い部分は小さい円の３/４になります。

緑部分の面積は、

半径４ｃｍ、中心角１３５°のおうぎ形から、

黄と赤部分を引いて求めます。

４×４×３．１４×１３５/３６０－２×２×３．１４×３/４

＝６×３．１４－３×３．１４

＝３×３．１４

＝９．４２㎠

９．４２－２×２÷２＝７．４２㎠

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角ウは何度？（２０１８年 灘中学 １日目）

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光が鏡で反射するときには、

図１のように角アと角イの大きさが等しくなります。

図２は、３枚の鏡ＡＢ、ＢＣ、ＣＡで何回も反射しながら

同じ経路を繰り返し進む光の様子を表しています。

このとき、角ウの大きさは何度ですか？

図１



図２

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ウ＋３７＝A

１８０－（３７＋ウ＋３７）＝C

C＝１０６－ウ

C＝３７＋E

１０６－ウ＝３７＋E

E＝６９－ウ

同様に、

ウ＋３９＝B

１８０－（３９＋ウ＋３９）＝D

D＝１０２－ウ

D＝３９＋F

１０２－ウ＝３９＋F

F＝６３－ウ

１８０＝１０４＋（６９－ウ）＋（６３－ウ）

１８０＝２３６－２×ウ

２×ウ＝５６

ウ＝２８°

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横から見るとどう見える？（２０１５年 栄光学園中学）

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図１のように底面の半径が１０ｃｍの円柱状のケーキがあります。

ケーキの上には同じ形の イチゴが６個のっています。

図２はこのイチゴを拡大したもので、

もっともふくらんだ部 分は半径１ｃｍの円になっています。

１ｃｍ ケーキの中心から５ｃｍの距離にイチゴの中心がくるように、

等間隔にイチゴを置きま す。上から見ると図３のように見えます。

このケーキを十分離れたところから見ることにします。

（１）このケーキを図３の右側の矢印の方向の真横から見たとき、

イチゴの位置はどのよう に見えるか、(あ)〜(う)から選びなさい。

（２）このケーキを様々な方向の真横から見たとき、

見ることができるものを(え)〜(け)から ２つ選びなさい。

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十分離れたところから見ると、視線はすべて平行線になります。

（１）の６個が３個に見えるところは図のような方向から見た場合です。

両側の重なった２個は、５ｃｍより内側になっていることがわかります。

したがって、（あ）のように見えます。

４個に見える場合は、

下図のような方向から見た場合で、

真ん中がやや開いた４個なので、（か）のように見えます。

その他の見え方は、（あ）と（か）の間の３０°を調べればよいことになります。

（え）や（お）のように４個に見える方向はありません。

６個に見える場合、

真ん中の２個が接している場合の見え方は下図のように、

両側の２個は半分ほど重なって見え、（き）のように見えます。

真ん中の２個が重なった方向から見ると、

両側の２個がより重なってしまい、（く）のようには見えません。

さらに真ん中の２個を重ねると、（あ）のように３個に見えてきます。

（け）のように６個すべてが接して見える方向もありません。

したがって、（か）と（き）

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道順は何通り？（２０１６年 甲陽学院中学 ２日目）

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同じ長さの竹ひご６本を用いてできる三角すいをたくさん作り、

それを図のように積み重ねて立体を作ります。図は2段と3段の場合です。

（１）３段の場合の頂点Ａから頂点Ｂまで行くのに最短で行く方法は

３本の竹ひごを通る場合で、1通りです。

４本の竹ひごを通ってＡからＢまで行く方法は何通りありますか。

（２）４段積み重ねて作った立体の場合、

（１）のように１つの頂点Ｃから他の頂点Ｄまで５本の竹ひごを通って行く方法は

何通りありますか。

（３）２段の場合、必要な竹ひごの本数は２４本ですが、

１０段積み重ねて立体を作るとき、必要な竹ひごの本数は何本ですか。

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（１）三角すいは１つの頂点から行くことのできる道は３通りあるので、

図のような平面に直して考えます。

赤丸まで３本で来れる道順は６通りです。

また、図のように２つの青丸まで３本で来れる道順も６通りなので。

合計６＋６＝１２通りです。

（２）図のように赤丸まで４本で来れる道順は１２通りなので、

それに青丸と緑丸の４×２＝８通りを加えて、全部で２０通りです。

（３）1つの三角すいに使われる竹ひごは６本、

三角すいは２段目は２個増え、３段目は３個増え、４段目は４個増え・・・

と、１つずつ増える数が増していきます。

１段目→１個

２段目→３個

３段目→６個

４段目→１０個

５段目→１５個

６段目→２１個

７段目→２８個

８段目→３６個

９段目→４５個

１０段目→５５個

１＋３＋６＋１０＋１５＋２１＋２８＋３６＋４５＋５５

＝２０＋３６＋６４＋１００

＝２０＋１００＋１００

＝２２０

２２０×６＝１３２０本

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色部分の面積の差は？（２０１７年 広島大学附属中学）

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下の図は２つとも、

円を４等分したものを組み合わせて作った図形です。

１マスは１ｃｍ×１ｃｍです。

色部分の面積の差は何㎠ですか？

円周率は３．１４とします。

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大きな１/４円から左下の白い部分を引いて、

残る面積を比べますが、

引く部分の差を考えても結果は同じになります。

黄色と水色部分は同じなので、それ以外の白い部分を比べます。

左→４×４×３．１４×１/４＝４×３．１４＝１２．５６

右→３×３×３．１４×１/４＋１×１×３．１４×１/４＋３

　　　＝（９＋１）×３．１４×１/４＋３

　　　＝１０．８５

１２．５６－１０．８５＝１．７１㎠

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ADの長 さは何cm？（渋谷教育学園幕張中学 ２０１７年）

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図のように、1つの円の周上に5つの点A、B、C、D、Eがあります。

三角形BDEは1辺の長さが7cmの正三角形です。

また、辺ABとCDの長さはそれぞれ5cmで、

辺BCとAEの長さはそれぞれ3cmです。

このとき、辺ADの長 さは何cmですか。

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同じ長さの弧に対する円周角は等しいので、

∠ADE＝∠BDC

∠ADE＋∠ADB＝６０°　なので、

∠ADB＋∠BDC＝６０°

∠BAD＝６０°なので、

AB＝CD　より、

四角形BADCは等脚台形になり、

BCとADは平行になります。

△BECと△EDAについて、

BE＝ED＝７ｃｍ

BC＝EA＝３ｃｍ

∠EBC＝６０°＋弧CDの円周角

∠DEA＝６０°＋弧ABの円周角

弧CD＝弧ABなので、

∠EBC＝∠DEA

したがって、△BECと△EDAは合同

AD＝ECなので、ECの長さを求めればよいことになります。

四角形AECBも等脚台形になるので、

四角形AFCBは平行四辺形になり、

AB＝FC＝５ｃｍ

AE＝AF

∠EAF＝６０°より

△AEFは正三角形なので、

EF＝AE＝３ｃｍ

AD＝EC＝３＋５＝８ｃｍ

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緑部分の面積は？（明治大学付属明治中学 ２０１７年 ）

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図のような1辺の長さが１０ｃｍの正方形があり、

辺上の点は各辺を５等分しています。

緑部分の面積は何㎠ですか？

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図のように、△黄と△青を移動して、

小さな正方形に分けてみると、

緑部分は全体（赤）の９/２９になることがわかります。

したがって、面積は、

１０×１０×９/２９＝３１と１/２９㎠

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目の出方は何通り？（今年 ２０１８年 雙葉中学）

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図１ の立体の４つの面は、すべて合同な正三角形です。

図１


この立体のそれぞれの面に１、２、３、４の数字を書きました。

ある方向から見ると図２ 、別の方向から見ると図３のようになりました。

図２

図３


（１）この立体の展開図を完成させましょう。

　　また、向きを考えて２、３、４の数字も書きましょう。



（２）この立体を、４と書いた面を下にして置きます。

　　ここから、辺を軸にして立体を倒して、下にきた数字を足していきます。

　　３回倒して、和が６になるときの下にきた数字の出方をすべて書きましょう。

（３）５回倒して、和が１３になるときの下にきた数字の出方は全部で何通りですか。

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（１）

１の右下の頂点は４の右下、

１の上の頂点は２の左下、

２の上の頂点は３の左下、

（２）

１→４→１

１→２→３

１→３→２

２→１→３

２→３→１

３→１→２

３→２→１

（３）

４が３回になる転がし方は、和が１３を超えてしまうので不可、

４が２回の場合、

１＋１＋３＋４＋４＝１３・・・・・①

１＋２＋２＋４＋４＝１３・・・・・②

４が１回の場合、

１＋２＋３＋３＋４＝１３・・・・・③

２＋２＋２＋３＋４＝１３・・・・・④

４がない場合、

２＋２＋３＋３＋３＝１３・・・・・⑤

最初が４でなく、同じ数が連続しない並べ方を考えると、

①の場合

１３４１４、１４１４３、１４１３４、１４３１４、１４３４１

３１４１４、３４１４１　の７通り、

②の場合、

１２４２４、１４２４２

２１４２４、２４１２４、２４２１４、２４１４２、２４２４１　の７通り、

③の場合、

１が最初に来るとき、

１２３４３、１４３２３、１３２４３、１３４２３、１３２３４、１３４３２　の６通り、

２が最初に来るときも、同様に６通り、

３が最初に来るとき、

３□□□３　で６通り、

３□□３□　で６通り、

３□３□□　で６通り、

③の場合は合計で、６×５＝３０通り

④の場合、

２３２４２、２４２３２　の２通り、

⑤の場合、

３２３２３　の１通り、

①＋②＋③＋④＋⑤＝７＋７＋３０＋２＋１＝４７通り

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四角形ＥＧＣＦの面積の何倍？（今年 ２０１８年 芝中学）

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ＡＢとＨＩ、ＤＨとＢＣ、ＥＦとＢＣ、ＥＧとＡＣが

それぞれ平行であるとき、

正三角形ＡＢＣの面積は四角形ＥＧＣＦの面積の何倍ですか？

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解法のヒント

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解法例

下の図のように、

四角形EGCFは１辺が１ｃｍの正三角形２つ分、

正三角形ABCは２５個分なので、

２５÷２＝１２．５倍

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