クイズ: これが中学入試に出た図形問題！

図１の立体の４つの面は、すべて合同な正三角形です。

図１

この立体のそれぞれの面に１、２、３、４の数字を書きました。

ある方向から見ると図２、別の方向から見ると図３のようになりました。

図２

図３

（１）この立体の展開図を完成させましょう。

　　また、向きを考えて２、３、４の数字も書きましょう。

（２）この立体を、４と書いた面を下にして置きます。

　　ここから、辺を軸にして立体を倒して、下にきた数字を足していきます。

　　３回倒して、和が６になるときの下にきた数字の出方をすべて書きましょう。

（３）５回倒して、和が１３になるときの下にきた数字の出方は全部で何通りですか。

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（１）

１の右下の頂点は４の右下、

１の上の頂点は２の左下、

２の上の頂点は３の左下、

（２）

１→４→１

１→２→３

１→３→２

２→１→３

２→３→１

３→１→２

３→２→１

（３）

４が３回になる転がし方は、和が１３を超えてしまうので不可、

４が２回の場合、

１＋１＋３＋４＋４＝１３・・・・・①

１＋２＋２＋４＋４＝１３・・・・・②

４が１回の場合、

１＋２＋３＋３＋４＝１３・・・・・③

２＋２＋２＋３＋４＝１３・・・・・④

４がない場合、

２＋２＋３＋３＋３＝１３・・・・・⑤

最初が４でなく、同じ数が連続しない並べ方を考えると、

①の場合

１３４１４、１４１４３、１４１３４、１４３１４、１４３４１

３１４１４、３４１４１　の７通り、

②の場合、

１２４２４、１４２４２

２１４２４、２４１２４、２４２１４、２４１４２、２４２４１　の７通り、

③の場合、

１が最初に来るとき、

１２３４３、１４３２３、１３２４３、１３４２３、１３２３４、１３４３２　の６通り、

２が最初に来るときも、同様に６通り、

３が最初に来るとき、

３□□□３　で６通り、

３□□３□　で６通り、

３□３□□　で６通り、

③の場合は合計で、６×５＝３０通り

④の場合、

２３２４２、２４２３２　の２通り、

⑤の場合、

３２３２３　の１通り、

①＋②＋③＋④＋⑤＝７＋７＋３０＋２＋１＝４７通り

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四角形ＥＧＣＦの面積の何倍？（今年　２０１８年　芝中学）

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ＡＢとＨＩ、ＤＨとＢＣ、ＥＦとＢＣ、ＥＧとＡＣが

それぞれ平行であるとき、

正三角形ＡＢＣの面積は四角形ＥＧＣＦの面積の何倍ですか？

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解法のヒント

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解法例

下の図のように、

四角形EGCFは１辺が１ｃｍの正三角形２つ分、

正三角形ABCは２５個分なので、

２５÷２＝１２．５倍

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切断面の形と糸の動く範囲は？（今年、２０１８年　駒場東邦中学）

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図のような１辺の長さが６ｃｍの正三角形が４つと、

正方形からできる四角錐Ｏ－ＡＢＣＤについて

辺ＡＢ、ＯＢ、ＣＤの真ん中の点をそれぞれＬ、Ｍ、Ｎ　とします。

ただし、円周率は３．１４として、次の問いに答えなさい。

（１）３点Ｌ、Ｍ、Ｎを含む平面でこの四角錐を切り分けます。

　①切断面はどのような図形か答えなさい。

　②切断面の周の長さを答えなさい。

（２）頂点Ｏに長さ６ｃｍの糸をつけます。

　　もう片方の糸の先端が、

　　この四角錐の表面上を動くことができる範囲について考えます。

　①解答欄の展開図に動くことができる範囲をかき、斜線で示しなさい。

　②動くことができる範囲の面積を求めなさい。