立体図形: これが中学入試に出た図形問題！

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図１のように底面の半径が１０ｃｍの円柱状のケーキがあります。

ケーキの上には同じ形のイチゴが６個のっています。

図２はこのイチゴを拡大したもので、

もっともふくらんだ部分は半径１ｃｍの円になっています。

Bandicam_20151219_075847192

１ｃｍケーキの中心から５ｃｍの距離にイチゴの中心がくるように、

等間隔にイチゴを置きます。上から見ると図３のように見えます。

Bandicam_20151219_081214227

このケーキを十分離れたところから見ることにします。

（１）このケーキを図３の右側の矢印の方向の真横から見たとき、

イチゴの位置はどのように見えるか、(あ)〜(う)から選びなさい。

Bandicam_20151219_075900838

（２）このケーキを様々な方向の真横から見たとき、

見ることができるものを(え)〜(け)から２つ選びなさい。

Bandicam_20151219_075921243

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十分離れたところから見ると、視線はすべて平行線になります。

（１）の６個が３個に見えるところは図のような方向から見た場合です。

12200

両側の重なった２個は、５ｃｍより内側になっていることがわかります。

したがって、（あ）のように見えます。

４個に見える場合は、

下図のような方向から見た場合で、

12201

真ん中がやや開いた４個なので、（か）のように見えます。

その他の見え方は、（あ）と（か）の間の３０°を調べればよいことになります。

（え）や（お）のように４個に見える方向はありません。

６個に見える場合、

真ん中の２個が接している場合の見え方は下図のように、

12203

両側の２個は半分ほど重なって見え、（き）のように見えます。

真ん中の２個が重なった方向から見ると、

12204

両側の２個がより重なってしまい、（く）のようには見えません。

さらに真ん中の２個を重ねると、（あ）のように３個に見えてきます。

12202_2

（け）のように６個すべてが接して見える方向もありません。

したがって、（か）と（き）

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図１の立体の４つの面は、すべて合同な正三角形です。

図１

この立体のそれぞれの面に１、２、３、４の数字を書きました。

ある方向から見ると図２、別の方向から見ると図３のようになりました。

図２

図３

（１）この立体の展開図を完成させましょう。

　　また、向きを考えて２、３、４の数字も書きましょう。

（２）この立体を、４と書いた面を下にして置きます。

　　ここから、辺を軸にして立体を倒して、下にきた数字を足していきます。

　　３回倒して、和が６になるときの下にきた数字の出方をすべて書きましょう。

（３）５回倒して、和が１３になるときの下にきた数字の出方は全部で何通りですか。