立方体の切断と体積（東邦大学付属東邦中学 ２０１７）

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図のような、１辺の長さが６ｃｍの立方体ＡＢＣＤＥＦＧＨがあります。

また、点Ｍは辺ＡＥを２等分する点です。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）３点Ａ、Ｃ、Ｆを通る平面でこの立方体を切り分けたとき、

　　点Ｈを含む立体の体積を求めなさい。

（２）（１）で体積を求めた立体を、３点Ｄ、Ｆ、Ｍを通る平面で切り分けたとき、

　　点Ａを含む立体の面の数を求めなさい。

（３）（２）で面の数を求めた立体の体積を求めなさい。

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イの面積は、アの何倍？ （２０１６年 青山学院中等部）

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図のような直方体Ａがあります。

Ａのたての長さを０．８倍、横の長さを１．２倍、高さを何倍かして

直方体Ｂを作りました。

ＡとＢの体積が同じとき、

イの部分の面積は、アの部分の面積の何倍になりますか？

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立方体の箱の中に入るかな？（女子学院中学 ２００８年）

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下の図１のような三角柱があります。底面は１つの角が直角の二等辺三角形で、

一番長い辺の長さは２０ｃｍです。側面のうち２つの面は正方形です。

この三角柱を下の図２のような立方体の箱に入れて、

ふたを しっかり閉めることが、できるかできないか、理由をつけて答えてください。

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立方体の箱の中に入るかな？（女子学院中学 ２００８年）

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下の図１のような三角柱があります。底面は１つの角が直角の二等辺三角形で、

一番長い辺の長さは２０ｃｍです。側面のうち２つの面は正方形です。

この三角柱を下の図２のような立方体の箱に入れて、

ふたを しっかり閉めることが、できるかできないか、理由をつけて答えてください。

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投影図から計算する体積（栄光学園中学 ２００９年）

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図1，図2，図3は，それぞれ同じ立体を上から見たとき，

南側から見たとき，東側から見たときのようすを表しています。

このような立体のうち，最も大きな立体の体積を求めなさい。

ただし，円周率は 3.14とします。

これが中学入試に出た図形問題！円すいを切った体積（大妻中学 2013年）

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下の図１は、底面の半径２０ｃｍ、高さ４０ｃｍの円すいの形の容器から、

底面の半径１０ｃｍ、高さ２０ｃｍの円すいの形の容器（図２）を取り除いたものです。

図３は、図２の容器をひっくり返して、図１の容器の中に入れたものです。

図３の容器に水を入れると、水面は ＡＢ のまん中の点Ｍ のところになりました。

入れた水は何立方ｃｍでしたか。ただし、容器の厚さは考えないものとします。

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これが中学入試に出た図形問題！長さ比と体積比は？（開成中学 過年度）

下の図１のような、底面の円の半径が１５ｃｍの円錐を、上から１２ｃｍの位置で底面と平行な面で切って、小さい円すいと、円すい台に切り離したところ、小さい円すいの底面の円の半径は５ｃｍとなりました。このとき、次の問題に答えなさい。　　

　　　

（１）円すい台の体積は、小さい円すいの何倍になりますか？

（２）小さい円すいに水を満たし、円すい台に１９杯注いだとき円すい台に満たされた水の高さは何ｃｍになりますか？

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これが中学入試に出た図形問題！残った立体の体積は？（早稲田中学 ２０１４年）

点Ｏを中心とする半径２ｃｍの円を底面とし、高さが６ｃｍの円柱があり、

この円柱を底面に垂直に切ったところ、

図の角アの大きさが９０°になりました。

次に、図の長方形の斜線部分をまっすぐにくりぬいて、

向かい側までつき抜けるように穴をあけました。

残った立体の体積は何立方cmですか。ただし、円周率は3.14とします。

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これが中学入試に出た図形問題！円すいを切った体積（大妻中学 2013年）

下の図１は、底面の半径２０ｃｍ、高さ４０ｃｍの円すいの形の容器から、

底面の半径１０ｃｍ、高さ２０ｃｍの円すいの形の容器（図２）を取り除いたものです。

図３は、図２の容器をひっくり返して、図１の容器の中に入れたものです。

図３の容器に水を入れると、水面は ＡＢ のまん中の点Ｍ のところになりました。

入れた水は何立方ｃｍでしたか。ただし、容器の厚さは考えないものとします。

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これが中学入試に出た図形問題！回転体の体積比は？（灘中学 ２０１１年１日目）

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ややムズレベル

下の図は，たて６ｃｍよこ４ｃｍの長方形の紙１枚と，直角をはさむ２辺の長さがどちらも３ｃｍの直角二等辺三角形の紙４枚をはりあわせて作ったものです。ただし，のりしろは考えません。この紙がＥＦを軸として１回転する間に通過する部分の体積をＶ立法ｃｍとすると，Ｖは円周率の何倍ですか。また，この紙がＡＢを軸として１回転する間に通過する部分の体積をＷ立法ｃｍとすると，Ｗは円周率の何倍ですか。

回転体のイメージ図と答え

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