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展開図の立体図形問題から (2015年、灘中学 1日目)

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展開図が図のような立体の体積は、

1辺の長さが4cmの正三角形を底面とし、

高さが4cmである三角すいの体積の何倍ですか。

ただし、四角形の面は平行な2辺の長さが4cm、8cmの台形、

六角形の面は正六角形で、三角形の面は二等辺三角形。

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ひもの長さは?(慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年)

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下の図の正六角柱ABCDEF-GHIJKL は底面が正六角形で

側面は正方形でできています。

図のように、この正六角柱の頂点H から

辺BC上の点M,辺EF上の点Nを通って頂点Kまで

長さが最も短くなるようにひもを張ります。

この正六角柱の表面積が48c㎡ のとき、このひもの長さを求めなさい。

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同じ模様になるのはどれ?(青山学院中等部 2002年)

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ひもは何cm必要か?(立教女学院中学 2011年)

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直方体に描かれた図形の面積は?(栄光学園中学 2008年)

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図のような1辺の長さが3cm、4cm、5cmの直方体があります。

AB=4cm、AF=3cm、AD=5cmです。

この直方体に、頂点Aを中心に、半径3cmの円を3面に、半径5cmの円を2面に描いたとき、図のようになり、BI=3cm、FH=4cmでした。

このとき、色の付いた部分の面積を求めなさい。円周率は3.14とします。

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立方体の切り口線は?(駒場東邦中学 2008年)

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立方体ABCD-EFGHがあり、AB,ADの真ん中に点P,Qをとります。この立方体を、3点P,Q,Gを通る平面で切ったとき、切り口の線を展開図に書き込みなさい。

なお、PQの線はすでに描いてあるとおりです。

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「5角形になると思うんだけど・・・」

「そう、こうなる」

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「展開するとわからなくなる」

「各頂点がどこへ移動していくかを考えて、順番に展開していく」

「Gがどこへ行くかだな」

「こんな感じで展開してみる」

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「展開図で PとGやQとGを結ぶとき、直線でいいのかな?」

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「切り口の線のある面を展開して、となりの面といっしょにまっすぐにのばしてみると、切り口は直線になってるでしょ?」

「ほんとだ」

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これが中学入試に出た図形問題!体積が一番小さくなるのは?(筑波大学附属中学 2012年)

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下の図は、底面が正方形である直方体の展開図です。

長方形ABCDの面積は420c㎡です。

この立体の体積が最も小さくなるのは、ABが何cmのときですか。

ただし、各辺の長さは整数で、ABの長さはADの長さよりも長いものとします。

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これが中学入試に出た図形問題!難問でもエレガントな名作!(慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年)

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下の図の正六角柱ABCDEF-GHIJKL は底面が正六角形で

側面は正方形でできています。

図のように、この正六角柱の頂点H から

辺BC上の点M,辺EF上の点Nを通って頂点Kまで

長さが最も短くなるようにひもを張ります。

この正六角柱の表面積が48c㎡ のとき、このひもの長さを求めなさい。

Pic_3098q

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立体の展開図(市川中学 2009年)

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ややムズレベル

いろいろな立体図形の形をした箱に切れ目を入れて,展開図にします。例えば,(図1)の立方体で.ACとBDの交点をPとします。
次に,(図2)のように,太い実線および点線に沿って,この立方体に切れ目を入れて,(図3)のように展開します。このときの展開図が(図4)です。

2241

ここで、すべての面が正三角形の三角すいABCDを、先ほどの例の ように太線に沿って切れ目を入れて展開します。解答欄には展開図が途中までかかれています。コンパス・定規を使わずに、足りない部分を付け足して展開図を 完成させなさい。ただし、点MはABのちょうどまん中の点とします。

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解答欄

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解答はこちら!

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展開図から立体を考える難問(巣鴨中学 2010年)

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難問レベル捨て問レベル

下の図は、ある立体の展開図で、直角二等辺三角形と、半円、長方形でできています。

  Pic_1914q

図において、

AB=AC=BD=CE=DF=GI=HJ=JK=2cm、

EG=FH=4cmです。

この立体について、次の問に答えなさい。

(1)この立体の体積は何立方cmですか。

(2)この立体をB,C,I,Kを通る面で切ったとき、点Fを含む方の立体の体積何立方cmですか。

(3)この立体をD,E,G,Jを通る面で切ったとき、点Fを含む方の立体の体積は何立方cmですか。

なお、角すいの体積は、底面積×高さ÷3で求められます。

切り口のイメージと解法例

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